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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 t.G&VvW  
)yzsDoId~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. m3)PHrv`p  
i2wfiTT?  
　　1、三角函数本质： \.-7I#.  
po0X4#[rL  
　　三角函数的本质来源于定义 =]n&'55=  
.%)Fdpk  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9F0F|@}  
UU<Lg\d  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 3csIF;I;  
Eb%(G))yx  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 2`q=O(  
XP'qt  
　　推导： nY w4G  
sLTAdae  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gYw|{lI  
?& .7{=v  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) /]A$j'z  
$SnZg  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) y P]("i+m  
u3zKaI>/g{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <~+W17;  
f{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 7Q']OL+z  
E >QR?E>  
　　[1] GOVlGhg  
>C6@(*AW1f  
　　两角和公式 /UzqXDvYZ  
giS3XNx\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB hwmgv  
>qwFm"~  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $bT   
8t$GsDN<r  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB j  E%<  
u!;gV%w1l  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB x6@f' ,  
9%^mK11V  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n\G#8HD4  
pV0Xqqq0(f  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (~Ei}5ER>  
=5yR8P3\"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  rZ.&EYw!I  
=M_ R8'\  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) :PUlpW2h  
[vM<e =n?  
倍角公式 Ofm| h}  
'GHl 96  
　　Sin2A=2SinA•CosA gSh(UlEa  
[t[shg^  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r=@NklAS  
P[+<O|TO  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tf92&|}8p  
jE<%,S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） pdRtkb  
ykMy.'(zZ  
三倍角公式 Aop7.i  
=%-)rH!   
　　 #*5n~]&_  
59oW;Pxw  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) V%rF0aiO  
Gi5|HK  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) yj-7/7,  
S` |38d  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) iB~WpDku  
F`U *~'  
三倍角公式推导 VI'H1mY5~  
"c==@; ]f[  
　　sin3a EgUttk  
xUV$(,M=  
　　=sin(2a+a) Wd*x?w  
'i6M+Q  
　　=sin2acosa+cos2asina *njrh*w  
lT[E<J L  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina K!lRu <J  
t4 bV} T  
　　=3sina-4sin³a J+LiUg+/  
s~[?Y,  
　　cos3a H2W%qhr  
SVfBp+Njph  
　　=cos(2a+a) sBk\*X3  
aghBOU<  
　　=cos2acosa-sin2asina uqJ L\"  
).Tbbaw  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gXJI5SfEI  
1.I~G*  
　　=4cos³a-3cosa Toi-=][  
B+9sxiR*  
　　sin3a=3sina-4sin³a R&yV{#c%m  
x23>3Vh#  
　　=4sina(3/4-sin²a) C^{'d ca  
zL!Tpj  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]?#%,Mn_7S  
EeQvI  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) R,aI21\J+  
cb4hE   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h&fEs1%h  
fU:2e+quo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] uB}lM-~  
lCZkG0CJY  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =XyyEk4  
Z@y?$?DL:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa s+1flGVvJ  
pe~ , D  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _:jy 42  
oyHX%F4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )zYQ$zBOq  
 0+7H  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) KS 0?M90  
Hk % ^%  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z<7^Z\-FZ  
V.5e:x}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MY/Y <T  
T6tk$<WTn  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) P6Z6KE il  
%,a%CBC  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] U2 >5aBx  
iw~/[2-f  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] k^XHQKOm\  
m?pod}(_Z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) +j(OMdz  
E^a,-(jg  
　　上述两式相比可得 C L$3OnSE  
GjgUa'_  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) A'k@~Y C  
*55-'f;8h  
半角公式 =%\@P7FO&  
yzU\*HfG  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _[+/is_M4  
P'flkWq  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K]L g5_{&  
Wr He`@7W  
和差化积 {iH:<  
%OHPnbU  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o>\!A;l'  
3Z^Eej;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SmQJj"f$  
~*1}J(  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Q=CQaB`ZE  
L(#>~<(L  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] D|YI-G7@Ym  
F-EK?o9w8`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  F}T(P  
<Fryg}40_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3, :A_=$  
T uDTC  
积化和差 eeparKVr5  
eZ?_!lW4  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ?abh@  
mp 2<a@P  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (~2l#E(  
Ba(%Q\-Kg  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] }:VZHBC)n  
`p{K'X<D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] S?.1P  
cN9P 55*0  
诱导公式 rJA7T,2:  
Nc acS<iNW  
　　sin(-α) = -sinα $(\G/qg{  
+:3/xw{y<=  
　　cos(-α) = cosα Tju#3a  
-Vlx9&AQn  
　　sin(π/2-α) = cosα ?+*<R/  
SQ6b ;q ~!  
　　cos(π/2-α) = sinα I5K 4hCI  
5A8:r  
　　sin(π/2+α) = cosα *u "R<]L  
K@F0 clMf  
　　cos(π/2+α) = -sinα ]_= K:@Ht  
um`7WtGV  
　　sin(π-α) = sinα X? OJl  
#l#3u>  
　　cos(π-α) = -cosα 5<FfyW*  
e. 1!h O  
　　sin(π+α) = -sinα TAIfzq%W  
o4m_AZ  
　　cos(π+α) = -cosα Yjc'B"|^e  
A,vY>.S  
　　tanA= sinA/cosA ;tu4m  
z`` F{QA  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα < XTy&_  
/0d.^y|  
　　tan（π/2－α）＝cotα SWHt*;l  
}&:6/q  
　　tan（π－α）＝－tanα ~dNfW|VYB  
SAP"YQ$d.  
　　tan（π＋α）＝tanα 3\ _k9Z %  
%@#>;  
万能公式 9B)l%S{  
!`K l,j  
　　 NC7=9eAs  
d@@HDNA  
其它公式 zyGA#"@U  
8o^Y@I _-X  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 3Ew/ @  
`Q ]Aav  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 K7b*G<  
qno@`fp:d  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 H*96!9$4  
v"e%UTnFhC  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 [LDNw9';$  
fKp+ i*7@  
　　对于任意非直角三角形,总有 O ^H]?   
yFTWR<q>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L`syzPmMQq  
?e&q| "-  
　　证: !J+%7: (c  
O?2YGy  
　　A+B=π-C 0Wc^!#-N[  
A=QY}o  
　　tan(A+B)=tan(π-C) H 'qjq,M  
VQ:tyMY  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  } HN?@q  
,Ukh/++B  
　　整理可得 jqBPDzT?  
gZZc87S7  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KD2f)=[Q  
Z~ S{  
　　得证 -"D SZ--  
#HkG *|sE  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ijwt[dfy  
zqJ$|`a7  
其他非重点三角函数 svI;$cy  
5% F~:K  
　　csc(a) = 1/sin(a) _mOnXs@|  
=tgnHW  
　　sec(a) = 1/cos(a) Ebavvo  
]~qvI)dy j  
　　 02 Nq  
LGZDHsG  
双曲函数 IUL9{  
Td-4ya,w  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K;&*r|2  
Lo#|  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 -&k>w\[6dh  
hU"-A^j~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) |Oh1.l>1  
)b9i@%m)  
　　公式一： kz}NF$(  
H"I$0 Q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ?wctev#e]  
I "'{ n  
　　sin（2kπ＋α）= sinα XFyuNAw*1  
{,=hr Bz#  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ];Aq{+|  
r!OwmAI  
　　tan（kπ＋α）= tanα gfe. +AD  
Z~?(/GO  
　　cot（kπ＋α）= cotα +RX8mcg  
n21! g3jjZ  
　　公式二： N J5Sk~  
WUgS<;9p  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： N6s+9_`_K]  
'b~tv: "q  
　　sin（π＋α）= -sinα f^BlJ _XK  
SXu051  
　　cos（π＋α）= -cosα {t nyVo0eO  
^.V{Nh~2o  
　　tan（π＋α）= tanα c{Cr sB3  
1@`Z%d q  
　　cot（π＋α）= cotα ~mGA YK4  
R&<T!m&+  
　　公式三： [9wF0*Q  
W!MxwwIq  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： j; oXL5  
wY/CD G 1  
　　sin（-α）= -sinα lI u+-O2  
5X" DkjC  
　　cos（-α）= cosα ^q  &Zf  
X@i|cG  
　　tan（-α）= -tanα }t; pbv`m  
=| jR+L  
　　cot（-α）= -cotα LDe+}9iL3B  
@S&JIK?  
　　公式四： "L3IBeLr#  
a 1nb|;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： eWBC dJ  
m\gdzXYq  
　　sin（π-α）= sinα s$`{u  
RSxTJVQ  
　　cos（π-α）= -cosα  s ap~I  
55agTlB)<~  
　　tan（π-α）= -tanα p,Zp|=   
FwcDPC3$  
　　cot（π-α）= -cotα 8KD6`5P  
5*b#M{Vt+  
　　公式五： |_Y^S]y  
g"0+ \sy  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /CAP>!URH  
W!^\%bp  
　　sin（2π-α）= -sinα 3PGEMn#  
\|,U'HzA?L  
　　cos（2π-α）= cosα Yr]SyYBx  
%V|,y< \  
　　tan（2π-α）= -tanα r#KNk@$  
wn<5J2N  
　　cot（2π-α）= -cotα ~$fUsZ,*  
R5#hN.&Z  
　　公式六： ,m@+_m>R  
\rIoA;<i  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @4G-!/86n  
4Qj+R>7r  
　　sin（π/2+α）= cosα QW+ !e^r  
'@STr@ re  
　　cos（π/2+α）= -sinα 85'WE!+ /  
\A< HGW  
　　tan（π/2+α）= -cotα &KQlA?I&Z  
JN0.T:\p  
　　cot（π/2+α）= -tanα s t: 1\k  
z|fo#o+F  
　　sin（π/2-α）= cosα i2P:/k^  
]oD5C#   
　　cos（π/2-α）= sinα .3T*"6`aT  
KKLvBd!:b  
　　tan（π/2-α）= cotα M|lO22&4  
=0y2j   
　　cot（π/2-α）= tanα Ki'~j9E\  
dv_Ns] =!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]1 U}hS  
zy>eIa !  
　　cos（3π/2+α）= sinα KVzBgB9@G.  
& c]2j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |oaSR' z  
BB4Y_rcW+Y  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 8VcuiP  
a>q>JHF.  
　　sin（3π/2-α）= -cosα mO P*m  
M-:X_#lV]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα |aL\{oH`f  
26;Z M\Q|9  
　　tan（3π/2-α）= cotα Y{; /<4a'w  
@\jyCKh  
　　cot（3π/2-α）= tanα (%~B:lLq  
s7Wi3*+{S  
　　(以上k∈Z) .~,dlJSfl  
04hVGcD+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 V%B< ~  
K92WWO,  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = h8-20;U  
nFJBL`Jo  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #5X4TB  
d)* Ra  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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