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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 gA**(g=]E1  
>He_r9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. w_<WFJ2e  
LJ:hzY3g  
　　1、三角函数本质： q`t^HLd_m  
{ujFZaW  
　　三角函数的本质来源于定义 {3MV'p`0  
gmX_?~sF  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Y7m2vJ 8E  
zf{@~ev{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 gp5@Bfi  
H"N(V1ys>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： #lfGY2 -0  
B6 K1$_8  
　　推导： MtdBTUW`  
(+ah`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 lk$<pdh  
q\n4KO  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1l f >R4r  
`Z-h323}  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) %TVh%oUvh  
Rvh#v{7?\  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m Bux 37=  
km4!Z]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） |BeoGC?v  
F> <m\8c,S  
　　[1] |#YV1FUK'  
) =(mFW  
　　两角和公式 @er q>4c  
Q?*K`p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (@F9vm&'  
Kj] j!x@O  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  & SQ;l\m  
F74xab  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B!U{>XU  
t21Z4~/  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB !!zl3_dTK  
n"K#>!  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zf  !~K .  
% I|t\xQ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) K%al.^G  
!+NqngN%  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Q ~ N'V&  
m(T;q,  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s?8]G  
jM:qPIO0  
倍角公式 t=[ upJ4  
Cl$: a "]  
　　Sin2A=2SinA•CosA {]_<q<?X@  
@5N~^^*  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 wl<=C"T}A  
AU7XU1`V  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） U -P}-[6z  
wdAn8  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） =J/ $&,5f4  
ap6DLWCLm3  
三倍角公式 @`Pt?~pm[  
Mdln) zD  
　　 SfMvN=  
nP '"?ED8!  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) :0ow(<gF  
_D}A#W|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) BC{3sC t~  
0Grk_v?qZk  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 6_cz^L>  
z 2(5b9BZ2  
三倍角公式推导 p?ndl+8>  
+OPQlaQ  
　　sin3a 9Q<yJ.hP  
?!P9TI> e}  
　　=sin(2a+a) 92)5uCZG  
=^SkMA  
　　=sin2acosa+cos2asina hFBH#FD4j  
KIg9AM3U  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }]//<TX  
zbg*h-"/Q<  
　　=3sina-4sin³a m%xT;5lo  
lFT{Wse   
　　cos3a !6~/qR\f  
*3VDKHiB  
　　=cos(2a+a) %E A "W*A  
M!&k I  
　　=cos2acosa-sin2asina c)MreR`>E  
0=8xi]2o  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8?lys  
_td,$Y1'&  
　　=4cos³a-3cosa VB0^T]exX  
F8 L3   
　　sin3a=3sina-4sin³a 53HLiQ /  
jDSy|zpVU  
　　=4sina(3/4-sin²a) gV6dFQEfV  
+sosY'Vr  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 'Xr ?u|  
g(by B>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +.FC%yNa  
HnV =R I  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) nnH7o z  
>)J}F{|mG  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !d4" TJh  
C;}XL  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) FOL=*_d  
&'w+['8&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ZXA#>WOfl  
?&~BKCLn#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =IMJ{~y"  
o+h-C 7b  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 9=4u~E6W>r  
 /5  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ].L0 s  
L.?R,J[%)C  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 4qoA28l!T  
Y*wLUL@F?  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} H~dY<g  
c`4VJX/  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =M_6z -  
6e:! ]oO  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] nj4P[Hem  
N gv) Sn  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8XF>=(p~  
?/Pd Hx.J  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =Ll?5~0s  
lp`9zU2.G  
　　上述两式相比可得 J E<CD|q  
t}BnwRAD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) e] F.G@  
9@WQ B w  
半角公式 jvj%j{Xb  
'Gi1<bA }  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); L3Cqch}p,  
@g{T~Qh},  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. NI!_qQ %^  
%^ pH3  
和差化积 (az0\,tv  
M|dl\  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s1A1+d |  
*be*v3y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] **bls Bk}  
S _V?qSn  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p@J(|{b|  
)J " T=qA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {5xjWZq M  
<8hU:["I?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) HF KEL%  
HmaD#; %w  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 4 Axf{rRI  
dD(]hkKlz  
积化和差 L>fjSD",  
85TDS1o  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "N!7Vzw  
LTYw O3  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ,8dXasIq  
Q.SITB  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] |(Z-!!7  
_Lxs*^2R  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] _2~68  
$Uk{giJ[  
诱导公式 FlI],oAl$  
>x{X'JE  
　　sin(-α) = -sinα it m#o  
. .#)e[=@  
　　cos(-α) = cosα 39zi3A>  
B{&S7+q  
　　sin(π/2-α) = cosα ;Sz"5M  
T(YEc  
　　cos(π/2-α) = sinα %zPpu]+  
[lw4$e0j  
　　sin(π/2+α) = cosα {xRWm!MR  
Mwp1 6W$e  
　　cos(π/2+α) = -sinα f,5 .K  
a~#bs{  
　　sin(π-α) = sinα 7Lmy &'  
,8YWT5u  
　　cos(π-α) = -cosα y! iT~(  
Nsf8Y J  
　　sin(π+α) = -sinα ^vzKg]`q  
tWpG|p|!  
　　cos(π+α) = -cosα 8#0X6d?  
RR'6k s8z  
　　tanA= sinA/cosA E;33i;  
[A[`YBn  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 1MVA2~| S  
)Au8N-i"  
　　tan（π/2－α）＝cotα  5<2PK  
v]q%q}jO  
　　tan（π－α）＝－tanα XDaqV^wh  
9e_R:*  
　　tan（π＋α）＝tanα _8? ~i d4{  
9D *Rr   
万能公式 (2J~v C;  
5O9]Vl*i  
　　 ,U0L'q "  
+"cf7Pc  
其它公式 pM5]b6jv  
fK4NMgc"}  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 WN/U^lg|  
F>s,z~uuX  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 glK D3P@  
d+# cm6{q  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ,m<-^E  
x220 -F7  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 jX;waw3e2  
2j6&lD7"a  
　　对于任意非直角三角形,总有 W-jr$-  
ae'4o?,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC +>mi1ekA  
 M]L6J"F$  
　　证: >X+)d,#  
y/O?Mc  
　　A+B=π-C R$TJ2yV.m  
{(`;< T/  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 6B%)4>%Sn  
'EJ>AHFs  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) JG}:B  
K@w<H+s-o  
　　整理可得 WD*]M{k  
B b`A (LQ&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?.Kz El:  
v<DnrG9r  
　　得证 i~X~ O%W(  
Mnq?wy  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 LjR@8bhgf  
&U6B   
其他非重点三角函数 "0[Y]}.  
.-_cq1R]I  
　　csc(a) = 1/sin(a) aJR}X Rg[  
ByQK=]eB  
　　sec(a) = 1/cos(a) m1~5! i  
vsAMJ-= ?  
　　 7(@BA4H"  
#u$-b4>}  
双曲函数 cF'9rA}  
+F!j  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W?_`&#M{B  
'~}iS4M@  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 N99TwOS  
:%Q5*`oR  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) {i G@s  
LN$G~{?h  
　　公式一： b! B7%SsnM  
L`*;S5m7\  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Z0H~ei%e?  
Sx8NS  
　　sin（2kπ＋α）= sinα U3@h)i]<  
`#5qB>zB  
　　cos（2kπ＋α）= cosα TH}%N4PF  
 ZM}A  
　　tan（kπ＋α）= tanα Uu?36<  
 >-kBZxrR  
　　cot（kπ＋α）= cotα }oO> 5KX)  
:0Hu1 ]uV  
　　公式二： - 9m|{xeBP  
0e 3o,3aS+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： W(I=AXB  
9w%en}<?  
　　sin（π＋α）= -sinα }'Ug#%}b  
oto;c>b  
　　cos（π＋α）= -cosα it?o%aLf  
93zCHnOJ  
　　tan（π＋α）= tanα `d :m1  
xE7{ONf{  
　　cot（π＋α）= cotα |D)yIs4_V  
Dk-\)ir$+P  
　　公式三： Dl~e.J!U  
B xsYtUp&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： m}UU+-  
]>ap $  
　　sin（-α）= -sinα `JUWvW^&  
.1 9<Y{  
　　cos（-α）= cosα ugU9 E<bd  
1nJX],  
　　tan（-α）= -tanα RwwB5k`*  
Zw=u{a;Dm  
　　cot（-α）= -cotα JN\g#TRP  
WpEj=wa  
　　公式四： H 9HX"2  
 azt c  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： )z !3eb  
iF g}XM&8  
　　sin（π-α）= sinα `1MT# V  
{Ho`w:(  
　　cos（π-α）= -cosα 5\aTtY v  
a|(Fin&MN  
　　tan（π-α）= -tanα T5D@:~oq  
H0g6O9b\  
　　cot（π-α）= -cotα o4oW:74  
#Y5-R$&#i  
　　公式五： o8d9%w  
wZ)_j>  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： tNX)%Pzh  
kCDa"L1  
　　sin（2π-α）= -sinα ,dBT'  
?%=jqMK+`  
　　cos（2π-α）= cosα 4h!EeGwX  
I!&FKgbp  
　　tan（2π-α）= -tanα D`JPC>k=8M  
\aY$W~2#V  
　　cot（2π-α）= -cotα s&jy>\   
/\O{pS7?*  
　　公式六： 1Vy4 :=&  
5fzh/G?}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?_&'$.|r,  
RXKl-oey  
　　sin（π/2+α）= cosα "o3bKULg  
% m SL?  
　　cos（π/2+α）= -sinα }oO-q  
{?xI*IK  
　　tan（π/2+α）= -cotα (f-%kwq)H  
0LH/_8  
　　cot（π/2+α）= -tanα TA0{a| q  
Tj%y#TE2  
　　sin（π/2-α）= cosα g<8L[I"`  
lbvh3P  
　　cos（π/2-α）= sinα ~#~"Ln  
&7pV{4  
　　tan（π/2-α）= cotα H`LhJ/3  
K c> 5<  
　　cot（π/2-α）= tanα N1~ d  
q b^4@%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ynQV?~$z'  
ONrl)u+f  
　　cos（3π/2+α）= sinα xJyYWb'MN)  
;w Sdab  
　　tan（3π/2+α）= -cotα <cEgWg"v{  
uIgt Ai  
　　cot（3π/2+α）= -tanα &1\gVV\~  
BA3\`d8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα G@=?q$^mk  
F!>N|l{  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (zHdVpz~  
@#n{iIt=x  
　　tan（3π/2-α）= cotα Y&$V['"  
$4C@H/T,  
　　cot（3π/2-α）= tanα DWI}+ud8  
]{6K}&e  
　　(以上k∈Z) ,:)~`wR2j%  
3%[#R:GT  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rM@NT|iz  
26r1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ly jP*_L~  
[F~]i  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } DT)'V A  
>!j"aQ[+  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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