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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 mBWBL>R  
O`L\1{!nq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. o^N*{g W  
*Z9IiX  
　　1、三角函数本质： Z %)%]I&  
Csw]ZtqVR  
　　三角函数的本质来源于定义 d1~m)f4O!  
ZNcrw;&6  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 q)agIaCj  
 ?JsU!;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U:Yd>>L  
PZ>^=S6>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： .Hjdk.  
8W0^~[dc  
　　推导： b\BzaC2-9  
<WJ 50|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m8@V$SY=  
)cS?>u+0  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) on]2r2sc[  
3L|A>1  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) AsruxW8  
OHXB( jM>  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4|phG*\  
z&Xn*+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g[8Dz4  
++FG_}0d  
　　[1] +X;CtyLt2  
(N'0/K!`V  
　　两角和公式 q"+QNMd  
LI!/KeUn!  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB u4A6;@lh  
zrO(K -  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /;FZ +  
[I:-R;n>|  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 5r 4`,  
3Q7(Q 5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB V?HNSvx&4  
Wl}.pg  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5`(t7&VD.  
H*!yjNg`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) |3K0d.dT  
<6p2RoI  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  *zI~KY  
)lKF!>Ef_n  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ZU# }!Nai  
^"@R Gi4  
倍角公式 [pH`j 1u  
)"= OC+nd  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~xcD|c.v  
$:[B|f  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 sbH THPf  
Q+T%l#GM  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _ylR7{  
&1lD9(cs  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） M!jvOri  
2b|^o;  
三倍角公式 1)rd bM=z  
Tjr5VXM  
　　 SsGZX Ln  
CgU9!wz>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) H$f0gw  
c`*"a=N  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ".k"V-  
[7c#IBQ@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 00)YhFNMf'  
XSFp`k&,  
三倍角公式推导 '/_jxX$D>  
z~VEElk#I  
　　sin3a rtj.vL9x:  
hLuFf|#  
　　=sin(2a+a) @9l3=1/s  
0cg~:iO8  
　　=sin2acosa+cos2asina c*Lc  
>5Tz6d]K_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina tro:)PE  
0xS!m  
　　=3sina-4sin³a PmenCqb/  
1Z%kz+Yk  
　　cos3a ~#Yu OO  
\];cb  
　　=cos(2a+a) V7kH**HX.  
_[,\myp  
　　=cos2acosa-sin2asina 'w*c~ l8f  
z!(x<P*{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  (Rn5]  
)G!cb>V3.  
　　=4cos³a-3cosa e9'06ZT8  
( %V4v  
　　sin3a=3sina-4sin³a "s P e#  
{N%-FN^  
　　=4sina(3/4-sin²a) *V0byA]  
iX`ffH.  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] "ji\B7Wj^  
i)#on?r  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) tjE  
wHG:%9B  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3JfK~^!  
(6NHGBK1  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ! A>zc B  
n}u(B  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n`ZNxErM3  
:xC-TE9x7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa #F/#DO\Av  
|M3\h+N7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Gs..A[LX  
 _9AQ)  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~g7eC1FG  
a `}y>Lmp  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 6m6ekdvZf  
>{ { T  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Nfj<[O  
*} 5|r\{B  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} oUmY2F]:  
U %'h"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) M2R#ptT  
Y2cz2tuO  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4S=fcRtJ  
=@ji=7 0R  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;viY *~<  
:-r9] `  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PX'd7cI_  
!~J#p` h^  
　　上述两式相比可得 QJ! AUk  
Zu;LmA]  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tm$B"$=Zi  
< c5!=< ?l  
半角公式 s~g? 2G!E  
]j5Ce.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); bzvICQ 6-  
Is VJMj  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 48AI+H  
g>CO~<C  
和差化积 gR9>$oc%y  
S([|Fd  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =WR9G ^,  
XHE*89z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^Yh0V _/  
@ ]J@oF#  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fsQ2Kdns?  
zI}(X|=:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )AIEKxl  
JWkmQk9N7!  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) fr:}#-8Pc|  
ySubz4{_r  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) >La~{+  
2oc"=gw  
积化和差 y{S.6r_6I  
]~^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] BSGS\u\  
@t3zQ]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] kf`jLd ?  
mM'"9* aJ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a!6;|r W  
a4* KJn5  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] S7'!t(~  
|M,;I+j  
诱导公式 08yvWk  
3OQPQ8s  
　　sin(-α) = -sinα a,YB%l(L  
N\t8X  
　　cos(-α) = cosα 2z5?61/y1  
uVdlLy  
　　sin(π/2-α) = cosα ^t8}6s9m c  
Q(C8@p~Os  
　　cos(π/2-α) = sinα ,/dR}  
Jt8t~]c-o  
　　sin(π/2+α) = cosα c0'%Xyn`  
p?tpS;4  
　　cos(π/2+α) = -sinα Lj#{D1}   
Ejr_9etq4  
　　sin(π-α) = sinα mt[<<  
s_QE?pu%9s  
　　cos(π-α) = -cosα JML) z  
'n)j[bJD  
　　sin(π+α) = -sinα %G C)q  
Ewq.iV X  
　　cos(π+α) = -cosα ZjiWu]"3C  
~r.D/}+  
　　tanA= sinA/cosA Ss;3! B  
u2 @&{Sz  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα IKDY/px9  
zm_rE*ZV  
　　tan（π/2－α）＝cotα H7`JZSWN.  
S4Gfe'@  
　　tan（π－α）＝－tanα idXh L#  
cdh21x2!w  
　　tan（π＋α）＝tanα Qhyz4?U  
P;: SbF  
万能公式 ?wao] Uff  
LCB`n   
　　 >_v9q4^  
RIYBbX:6&F  
其它公式 YI_.263c^  
'\u\]$a{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^bM)0g</s  
LyJz@ } ,{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c*Uco0@T  
`,C]\pN  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ]Z:&#.pe  
ThMmPn  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ={8Pg?~W  
8e7,@|  
　　对于任意非直角三角形,总有 #NH>X=  
X)+%BF)8_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nE9P7gmJ  
K/PL\CMJ  
　　证: "[/2vJ  
</=(\x6 E  
　　A+B=π-C yCM]*o\6  
VqjZ==1 F  
　　tan(A+B)=tan(π-C) NIH1Fg/h  
=bp!pTRD  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Bj.>|h  
:C*6pNDp  
　　整理可得 R a BzOo  
b1XK_h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~[p'aom  
+_s}3r@c  
　　得证 3=|W)>(4"  
D=W%C"cO  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )6@.JI8+z  
^Lmzcox!  
其他非重点三角函数 4<fhdw3_EL  
l9,h5)|  
　　csc(a) = 1/sin(a) <sw+#Hl  
@FDsG+TF  
　　sec(a) = 1/cos(a) vas3=ol&X  
CM}y~U|"  
　　 @5bu}|  
*=(H_n^n  
双曲函数 'G"mfR4  
FUOCr mp  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 d%{{KfW  
^=KmO{O  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 B(GSC  
ZX7dEh'3/  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) GFf5);`}  
[ia]*- Uj  
　　公式一： dA{/AdlU  
Q7X_k,DXt&  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5W7=|(  
AH)jO<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Iz8# I``  
EH)f X,:CC  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 6A^?6~h  
~I^@C^b  
　　tan（kπ＋α）= tanα _Yuq {i  
bvAF8M7Ch  
　　cot（kπ＋α）= cotα  SVP.Jqj  
E{**RKk(N  
　　公式二： L DAV  
?22'3ck&0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  +|:  
)Vl9_9V^  
　　sin（π＋α）= -sinα GqTb_s!  
3b|&vng\  
　　cos（π＋α）= -cosα q}ySY   
(>$`t{Wx  
　　tan（π＋α）= tanα iRLiTP  
1fY[6AQ@  
　　cot（π＋α）= cotα i 1zY`_  
t6U )  
　　公式三： 8x3]U2$D+  
hnJ'mo p  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8&6Pn$~j  
h.r/Y~oCQ  
　　sin（-α）= -sinα 'sPq /  
.V[{JSXZ  
　　cos（-α）= cosα 728"Gq4L]  
_q`x }Z@3  
　　tan（-α）= -tanα }EJ0LHO  
1@]<H\*  
　　cot（-α）= -cotα | v67 Y  
&xi>D<`T&  
　　公式四： V[#EE$@NW  
yJa%Aq  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9 Ga o$V  
J&$KYlI'  
　　sin（π-α）= sinα dbrg" f,  
#D +$(QV  
　　cos（π-α）= -cosα ZPnw l  
q_p l#4m  
　　tan（π-α）= -tanα 5k' TiR/  
TuuH<)/x  
　　cot（π-α）= -cotα Eq9_KapC|g  
.Ud,MJgI)  
　　公式五： nP/ nu, ny  
k !Fth~v  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4$Pc[D7M  
xUY/JUgZ  
　　sin（2π-α）= -sinα {BbLpXx]2  
%p "  
　　cos（2π-α）= cosα a&u3I)0hg  
OplNY @  
　　tan（2π-α）= -tanα He+0u[ Hc  
v;%c`zfiJ  
　　cot（2π-α）= -cotα H%R6$sxw  
RF#(0X!  
　　公式六： t*=[ k>qN  
GN07u R~:  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： G , d  
q7NOf!{ ?  
　　sin（π/2+α）= cosα o3?b^o[Cu  
JQ%[:82_  
　　cos（π/2+α）= -sinα V>rGA(D<  
OSZ(4'Q  
　　tan（π/2+α）= -cotα AZ rx>+e4  
>(g8 `g%M>  
　　cot（π/2+α）= -tanα @FRHF  
/Bcfd7t  
　　sin（π/2-α）= cosα -Xg@i{tT  
jV7i]I//I  
　　cos（π/2-α）= sinα q:TD.M  
sLM].rS@^  
　　tan（π/2-α）= cotα iYh{6UT  
muuV`.-  
　　cot（π/2-α）= tanα 4?&{;4 8  
}3#T!R.  
　　sin（3π/2+α）= -cosα =d.F;.+0  
"TyZVbGIQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα DUJP/`S?  
M6Wb Zj  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #h\A'6)*  
G@j8\/YV  
　　cot（3π/2+α）= -tanα qG[sTW@f  
&N@B9*?G  
　　sin（3π/2-α）= -cosα . Z4797X/  
L &18U#P  
　　cos（3π/2-α）= -sinα m ^  
O _XKK)  
　　tan（3π/2-α）= cotα Q9ps@D  
X<~~5  ^  
　　cot（3π/2-α）= tanα S7GVXi  
65uIv{)@b  
　　(以上k∈Z) jUWy}^#\e  
9m(3=W{v  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~3?eAp)|t  
/(%DOP"?  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 'HGT,7  
1.0X- |w  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } lD0+ LV8#  
PH'y~J"  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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