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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 snsi)  
2=YB *2  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. vo:A+qAS  
% Tf)3hwQ  
　　1、三角函数本质： #[gK)E~Xx|  
}?@Qp89sQ\  
　　三角函数的本质来源于定义 &I6GbU5x  
3J^OgB[*E  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 W183|j 1!P  
Z U~8epMm  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -6 dv<>4  
A#KSHFf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： C*Vv%/Zqt  
X C~"TN(-  
　　推导： 3}$.L  
vq;r=-,2i~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 c|ae k|2  
N]#Jlr-_  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) XG1YN9f73  
:KV9R32  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) g CliC  
E}$EuR]  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 n=/9nPT  
Yu, =r>  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ![fy6#  
)TjGEM  
　　[1] oBTu!7u@  
9^^= hK u  
　　两角和公式 n[=[s vo  
'e3L7%mv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X}g#I ;95&  
oc k5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S<d/Il[vE  
~D!d;A`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB lNI}BqK  
+h-Js  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hde}#O4  
YoK4?`Y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) pvj&cT&u9  
(S* YB<(  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) S_X* r%=  
(K\gVz7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ]3C0lnb/  
->K:GQ*FK  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !v-T ?k  
L+hu4r  
倍角公式 r&fNCyqo{  
&:Wa N$  
　　Sin2A=2SinA•CosA _9BG{B  
\khRoP'#x  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }j :.   
H9(e-g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） v>5~&ZV(  
&Mb9[d:g4F  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ^l?7bH[]  
Uj(9rw7  
三倍角公式   O`=Uz  
*wU vfXEz  
　　 JTT;k96"  
ivA_L^t  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l$aXv)Z   
M;/]icm&ks  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Aq];}r  
JxcvI>$V<  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) d b[T"3e  
vf}G&~  
三倍角公式推导 9g PujtU4  
 m:Ay5P  
　　sin3a = '|?5vt9v  
ws34ra*F  
　　=sin(2a+a) fR~:fv?+q  
MoaCK&j_  
　　=sin2acosa+cos2asina QJG=7FT.*  
y'\]Sc7(  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &0!cpp  
T>bLJ`*d  
　　=3sina-4sin³a 7UCEk>(U  
yWhd+a^|  
　　cos3a tWOHJv (G  
nrHRqb;$  
　　=cos(2a+a) ?c4S'+vE  
<`;n7J  
　　=cos2acosa-sin2asina i L[ %D,pg  
2$1N^z2V  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0#W0)K   
OeCm2TL  
　　=4cos³a-3cosa "?J)-LY |  
5FS.z7nD  
　　sin3a=3sina-4sin³a 5mS \@!*<6  
M@I]23   
　　=4sina(3/4-sin²a) +_F iyp#  
.= um<3{l  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] yd~dl~V  
,9I@E3q sN  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) aYB8K`lF  
U?&`i=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) P-0RxUQ  
#!(U}+;2h  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] hfyDc 42  
9mD E-  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) a.K7.7Dm  
/ ="=D|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa oUgNfl!  
>l1ivQLv2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) d|9MO#F*T  
AP!9 9J  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] P\%]oe|  
0iz((%"o  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) .G<W)!NbC  
PKK "nn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) R17-r#G  
rc,?0 Zq1  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7Hq*p|*  
Z$ /g%h  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (I4b;%B  
?Zf M>xT4d  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Prd{^BjL  
7 sXO?tfS  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] "NJYn\~n#  
EZQ8 U j  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) wu\ kQtFG  
)WAwI  
　　上述两式相比可得 F]# !`FQa  
zpu" 3R  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) iYK8pViE  
$N;O*'[  
半角公式 ~[k];&\  
MIWei,9L  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Fp"(+N  
U&ub da  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K4VP1h  
_ZnTT;W  
和差化积 QGn3 X@@&  
]ty Zt.  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M_cCRb BZo  
,vDaS*s  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] f)D?]  
CU:Z=5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] jAl79e#\  
O R}4uo  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u@!7x@G:  
ts>&|GHxx  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) < Xcl\b]  
e|bmW F  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5P8R P  
h8^m`k  
积化和差 C]29 ?V  
aspyO|+,  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] wTQ3.CXfr  
/.! nHb  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fO:J<W+M  
$ofA}f?n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] < xa%Y  
8N96I'u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] \g:XM,x  
HD#p$kOW  
诱导公式 'ud*;O*J.t  
i !tc!  
　　sin(-α) = -sinα Nrkn0aK  
)N~7lH|I  
　　cos(-α) = cosα QL,770H}  
N}^tWmM5  
　　sin(π/2-α) = cosα V5} (F%o  
Xo^86;W  
　　cos(π/2-α) = sinα KS:B?Y@9I  
e%? 8sX(  
　　sin(π/2+α) = cosα #)x5j`WW-#  
{s%y rW  
　　cos(π/2+α) = -sinα TkJ( N?  
[VN};4  
　　sin(π-α) = sinα OzoUaq;$j  
TY^;YRc  
　　cos(π-α) = -cosα ]J((G(t\  
=w (BbKqy  
　　sin(π+α) = -sinα kJ${nC,q  
ATEvgeP {  
　　cos(π+α) = -cosα lD=In1G4  
> 6#y \w  
　　tanA= sinA/cosA KCt$sJ'  
ew[hVv}0  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K(ak'=d"!%  
QGI )`k^^  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y<#M[Eo'F  
`YhjX  
　　tan（π－α）＝－tanα rJ7.x-bC  
|<h}ES5a  
　　tan（π＋α）＝tanα XV~m{ v\g  
?"#m]6"  
万能公式 Z%? ?K"o'  
Tu4|G7~(7  
　　 iR5$k <m"  
d[,7$?R.  
其它公式 M:bp_:  
AA^T7[  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 PlBS:BYX  
l=u vv]*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 J{|E<py  
>`aK'<?  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 WsLWiGn  
&dl6mGD|l  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (~eWmx/  
m|yE Yg  
　　对于任意非直角三角形,总有 SOaK? r  
h $6v5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <P.rq(4  
TI@nl%fL  
　　证: pQ+;nS8p  
F%@/\C   
　　A+B=π-C bQ"LGJR  
*Xa#] J  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 2*\W5f=km  
BXv! J7(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }V2eg?z)R  
D&pUh `  
　　整理可得 >g?(uUiV  
Q3;)#\f  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3%2M:-  
T tqLG{dy  
　　得证 )&1X:~g  
Bs V/Fb  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 E-xH~]#]l|  
vZ6 Jc}O  
其他非重点三角函数 GIwM8"*hI  
t`,mTj  
　　csc(a) = 1/sin(a) {i5IL^c  
}: Uq/{$.  
　　sec(a) = 1/cos(a) -PPS9# 31  
eSFy#cW  
　　 {`1{+|"L  
>2a`"s)L  
双曲函数 W$S )1tY  
af'3H8(  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2gC`X7  
kM =mu  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8cZ/(uY  
f]4 gf &  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) osoOJWI  
H)XRT^_3(  
　　公式一： h"v{;?  
;z3#Gqk@Y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： C{~ak  
ORm' g ^+  
　　sin（2kπ＋α）= sinα N&} pI{A  
t GFcRk}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ttX=`l1<{  
f tv<SG  
　　tan（kπ＋α）= tanα qmM+[7ku  
\TGA!$`  
　　cot（kπ＋α）= cotα H5MQWH8S|n  
Sff)LgF!p  
　　公式二： 0s P?C"dwV  
vQ|}b=4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： VkT;AJcA  
(h<rENo>;  
　　sin（π＋α）= -sinα l$6DL%cY  
u_ hV*JC  
　　cos（π＋α）= -cosα cl^w@WK*  
7U;}%ICiU  
　　tan（π＋α）= tanα gL8]7jIdk  
zBpYE.=JM{  
　　cot（π＋α）= cotα |@Z r  
{y=Ez7} '  
　　公式三： +N3YvoF=  
C,L4k  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： IVE4Mw]JD  
Q'*tNTZ  
　　sin（-α）= -sinα .*7LrxMSJ  
=JK:>i,jiQ  
　　cos（-α）= cosα \ >jwB@  
7w<P4  
　　tan（-α）= -tanα Bx8CYP&`jR  
h4aLc-D5e  
　　cot（-α）= -cotα qyF-\S4`  
9|&4m}c$&  
　　公式四： AI}F+XFD  
ukNO$Y6M5  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~~eRr64L  
) Fr2G~  
　　sin（π-α）= sinα |'07#_Q.m  
[g4:YpSc  
　　cos（π-α）= -cosα # |[nLW  
4Vu)f/Q:  
　　tan（π-α）= -tanα |m7LG_qX  
*yA?N{U>u  
　　cot（π-α）= -cotα :/?aI6_?  
2)mV-M9%T$  
　　公式五： :1c>n  
>WJaL=f#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /^?76%D-yD  
nNvhX1J0O  
　　sin（2π-α）= -sinα [durFOF&  
x 6DF<nPyd  
　　cos（2π-α）= cosα R{PR|}8g  
t6v#-  
　　tan（2π-α）= -tanα a-8^B1\K  
rBVeXpt$  
　　cot（2π-α）= -cotα W'_1vi}{  
`WYf ~  
　　公式六： AQ`WT  
 <3K,|S  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /&0#22Q  
W'iWonN  
　　sin（π/2+α）= cosα Azbc+br:h  
/(mpNd9b-h  
　　cos（π/2+α）= -sinα lq oKC  
B 8\b !  
　　tan（π/2+α）= -cotα L#j]P'<-  
;W#}I40>g{  
　　cot（π/2+α）= -tanα v;M/lO!!  
QiPS{?y  
　　sin（π/2-α）= cosα Wsz- 5f@c  
.$D|'F\>  
　　cos（π/2-α）= sinα ^M\a]WAg#+  
6"Z?&9  
　　tan（π/2-α）= cotα V3>Z)d!m  
C>i/5h`\_  
　　cot（π/2-α）= tanα _ y; n1b  
^) qfNc  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /< v2jN  
t|egiWS  
　　cos（3π/2+α）= sinα .tc5)lr0  
GfWqV\c=*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα M|6\2  
XRK<v  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #r4Wi4g  
}@yZwh8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα yDs{) HH  
2e O* <Gf<  
　　cos（3π/2-α）= -sinα <HsYXkvib-  
ORtg>E$H  
　　tan（3π/2-α）= cotα QYrh NmEi,  
Qsqz_^iO$  
　　cot（3π/2-α）= tanα @vrL{[ |$  
v\0.Eo$9M  
　　(以上k∈Z) n\ jr1  
Hl)k(.T@b  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3Ia[`0   
4*awK^.'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = UaD%xId   
3LbT*FoQH  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3+?'"vC  
*PaYiB#}M  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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