三角函数内容规律 }`W&Znq
9e[az+
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |*e\|7z'yz
kdyn-o6
Y
1、三角函数本质: pY4;fTGxw
BTt
*B^A
三角函数的本质来源于定义 k^+}Dpnrf
1-U&m
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 DBOIZ.:
waW32]
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 10NEA[T~}T
kKMD!%h
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: R}y-H+
Pv7~#e(<
推导: tI%h57&)
pbW^;s\Z
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 _cdMRnrT
P:wUYP)
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t:aX@A ]
P"3fwP|QIC
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) c`?kQoZM
R\ :e+ Y
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 AW&f%"xbt
)Hu/F
b[
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ? Y@1Br$
Yc^&s
+T
[1] FM<m
-s1
0k4)vQUqm
两角和公式 gGnG%4cY
"1}^~1.
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB NlqP_<
C9[L=+C
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB qJx^
o6VXx`{
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #_Q_:C
XH]ET;
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;lp5;}|
%4h2I#1g9
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) j<7r
/@N s f
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B.V b]'O
EN>ccD
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) .
Uy"?P+k*
|FRVDgbgu
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +7-;7vlM
VUIc%yMT
倍角公式 %
O b3pL@
k(` t?{f
Sin2A=2SinA•CosA =5MH1K
0 N"`SaE
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 te?5rM0
,h 3)#
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) kpc<1
;q)IlBTJ
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 2Y6UXc@dhC
E:L5iDOP
三倍角公式 r=?<l5*(
{-}!j2~
\6
z[;V
$\[OZB
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (m2)mAb
!nUG'G
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) E)Vj,rT
@5K'yW .
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) E#)-H/
vP4 |K
三倍角公式推导 X<JzMU3)
&[
DXcCR@
sin3a rqg+a*r"
!t$\e}38G
=sin(2a+a) dWIECL9
,=;}V-|
=sin2acosa+cos2asina +M+/zj
U!2m^-8[
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina CTz?a11Z
Fi*%cdjM
=3sina-4sin³a EE{-i-<j
:m5)?)2=
cos3a A2gtODrx
h{n1`'
=cos(2a+a) |J
Q<<}hp
KpBBH=en
=cos2acosa-sin2asina n7K?,_q~z
sj.^xz?
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa CC8uh~7H
04O
X|aN
=4cos³a-3cosa '}|l4(\
@ZFr31,|
sin3a=3sina-4sin³a *32
[sr.
3{ZVpz`x
=4sina(3/4-sin²a) wdU^l}2;
)rB^i|Q >
=4sina[(√3/2)²-sin²a] Yx^FAlHHr
k]7|ASyF
=4sina(sin²60°-sin²a) ]pF9cUh
-NA0ZGb{b
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .ic\T!r*~
X7oR=/73X
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {*I4Nj S
c*7x
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &jq<Q<d
,IJ*>Wg2@
cos3a=4cos³a-3cosa I@CwZrtF
*AU,e=C=A
=4cosa(cos²a-3/4) 1axa#_Gl
`a\c?"Y
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] yIUr%?H\
dnC /uU'<
=4cosa(cos²a-cos²30°) cJs\XW
2iNG@)U v
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) V{(z_g:@
(W3D7CM.E
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;:3
2.yc
ikCZ;M5m
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) RPx2&g'
;E(*_h
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ni]JqeP8r
:y"~.
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] qKC4s m
FZI>vQ*&|
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *'*CX{CT
q&8ESH\.&
上述两式相比可得 -^MK
X/[=5*G
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) TRm+e
}R({ Z^zNn
半角公式 ZZdnyM"p%
(T$qf)
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); psHFH`!
#G)8K3
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. rV&V#!@5
[)WW
和差化积 {BD4OT
"2
G$=#q-d
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X-
4LNy
'Y/aY=
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `*c% ?=
-;!MYs0
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;-D##J'
d/:ae.3H
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] lyrNc^-K\
KVS0N
SI
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z&f9F`=g3
7{U#!o`B
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
?:379C
58@cm{
积化和差 h/Hz*
kLa!`gL8
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <2.";5%
`dLrF
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]
NGrU;A
^s4uq<P
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U
RTGW]
OW"NYF
n9
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }/=<Oe*G
eW%P~-AJ*
诱导公式 - LH|S
fNQA8,"(
sin(-α) = -sinα aj7%Wg0?N
u|:BvmXg
cos(-α) = cosα
w/gZ0A
on=v7dZQ
sin(π/2-α) = cosα %etRt[S
6B<S=mfpU
cos(π/2-α) = sinα 1G95o{Q88
8&\NCk$!
sin(π/2+α) = cosα [f<"yn
`a^{z*Co
cos(π/2+α) = -sinα W3byp
7?o
)GIkyKF
sin(π-α) = sinα EAjWlgy(
>2:)OxT
cos(π-α) = -cosα 7.PJ5G
p2SwJ-=-o
sin(π+α) = -sinα tZEh`G(Df
c{_!Uq
cos(π+α) = -cosα dI5LM\
IaX
tanA= sinA/cosA $Y>
""E
7?^
i[`
tan(π/2+α)=-cotα P|Np:-/^L
(zimt&-/
tan(π/2-α)=cotα N"Y*}S;
p1"VQ6h
tan(π-α)=-tanα Pn]-;*4/
q%PNHn
tan(π+α)=tanα 7fVUJ
}Wz5%x
万能公式 `S,BI""
^GQWptU
/ Isv7x
R]CTfD/
其它公式 tXf/|1s@oX
M|*Bi
(sinα)^2+(cosα)^2=1 >0L\7hK9B
hyr04L#K*
1+(tanα)^2=(secα)^2 O7sb,PV
]
5d/]k
1+(cotα)^2=(cscα)^2 QZnBiEZs
a5 Ze<f
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 3QRH\}
#k}DVN'?
对于任意非直角三角形,总有 #l KpKX
?
nF NX
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M[[_hfx8
|q)^5F>8
证: `ZW|ph!5
CUe'@N!$
A+B=π-C ()T~l7a$
e5){dG;!|
tan(A+B)=tan(π-C) Lw~7ie
\.:iqv
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |?v(KxP^
wvlUF
整理可得 lq[Q#~F
I8+Oj"wPd6
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >Cc~#$_#P
(~rK\
6
得证 BulHcR
Nh%ylnF
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6U'yc=O
dLUxD%G@
其他非重点三角函数 #-2@>+
P$bP7*X
csc(a) = 1/sin(a) >iyi2k0`
S}r5qYUl
sec(a) = 1/cos(a) 2 1,HG3
}2Jv;l
q|(t.;
|BIw}9UB/
双曲函数 \Zx }Gw*
Q?Z[5Ckr0
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 h:oAt`%l4
hg]N;@#U*
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 XN DXa9w(}
fO)x#0
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .e}y
N
`"aL9N02!u
公式一: QIU9uOlyE
?CEp<*{
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: $fK\y^
1T
B) PBwo4i
sin(2kπ+α)= sinα boxz
FHt&lLP
cos(2kπ+α)= cosα ^EOuZY
k
85~X\Q
tan(kπ+α)= tanα :XNh<}q6
+nziyVi
cot(kπ+α)= cotα LZ\gT}AvdE
6
%>@&c@
公式二: 3=8bF5I\
bAKr :g+6
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ]<5Ep{ke^
Nf\>#f;97K
sin(π+α)= -sinα ;#FDH#0.;
U^z_"m}
cos(π+α)= -cosα [4"E/rUq
,!2~srs
tan(π+α)= tanα -uVw<#6&
g3[7p6Dl?
cot(π+α)= cotα g@L-P%C
oL9mT
Z
公式三: ZJk-S+}
.c<t`nz
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: t5?,elkrz
Gq9L{
sin(-α)= -sinα y+IV^
'a0z(Ktj
cos(-α)= cosα YV=aA"I,\[
Bc
=O
tan(-α)= -tanα Z6k7t^JO
jB
:w9
cot(-α)= -cotα 3]JuW-B8/
\7n#}a{Z
公式四: xamHm[|/
h -8K:K0
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: IZR%Bt
]!t9%+B<
sin(π-α)= sinα v]6OjUiX*
/,,kX6@l
cos(π-α)= -cosα 6f~v]uE
tK3?2
E7G
tan(π-α)= -tanα pLR>nHWB
]Zk)UQsm
cot(π-α)= -cotα 8yZd^!
Jl\%*qKi(
公式五: UU(
2w9
C+dNB\Ej
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: EZxLL*
M
j# ry<
sin(2π-α)= -sinα *PM(7iG]2
W>_Mb 7p]
cos(2π-α)= cosα v]tR Kf
IIy!pnpp
tan(2π-α)= -tanα Zo/[8$'
(*ga'X
cot(2π-α)= -cotα zEMo!h)
C' F{/ 6
公式六: iwYl ~WH
1&5,K{dGp
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: <lYpv|j
"sP O
sin(π/2+α)= cosα 5@d+;#Fr
)|ak%UL
cos(π/2+α)= -sinα `?&?| o0t
jWd
`R}
tan(π/2+α)= -cotα )V&0
qg
L#i\
&
cot(π/2+α)= -tanα ;Q2
d`}Q
6#G6p-3v
sin(π/2-α)= cosα I#29E.?o|P
d^3jK2VN
cos(π/2-α)= sinα L_G[3.]ii{
Sc$;8LiE2
tan(π/2-α)= cotα /]1POQ
j>E`26
cot(π/2-α)= tanα }v+P1j_Mj
Bus4eSXbQ
sin(3π/2+α)= -cosα 9FS)WloyO
d#[JfMvogQ
cos(3π/2+α)= sinα 4B>M4Iz?u
&Y")_ |
tan(3π/2+α)= -cotα qG%#xN1<-3
1}PkK
cot(3π/2+α)= -tanα OOr|fajN
$(ZkK/p$!
sin(3π/2-α)= -cosα [TXHcZ5
L~*II*e&
cos(3π/2-α)= -sinα *M~au!M8u
y_xL>0
tan(3π/2-α)= cotα :"GZ rtd
yt wj3SZp
cot(3π/2-α)= tanα ]jn~=]D\
.R85H;eQ
(以上k∈Z) Gn{jBkfP
bH]0I{j
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Cpc~(jNK
%hE;,@S~I
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Dm~BNGHq
?[)8^G=~N!
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |yMIS')
BUB
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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