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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 }`W&Znq  
9e[az +  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |*e\|7z'yz  
kdyn-o6 Y  
　　1、三角函数本质： pY4;fTGxw  
BTt *B^A  
　　三角函数的本质来源于定义 k^+}Dpnrf  
1-U&m   
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 DBOIZ.:  
waW32]  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 10NEA[T~}T  
kKMD!%h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R}y-H+  
Pv7~#e(<  
　　推导： tI%h57&)  
pbW^;s\Z  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 _cdMRnrT  
P:wUYP)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t:aX@A ]  
P"3fwP|QIC  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) c`? kQoZM  
R\ :e+ Y  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 AW&f%"xbt  
)Hu/F b [  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?Y@1Br$  
Yc^&s +T  
　　[1] FM<m -s1  
0k4)vQUqm  
　　两角和公式 gG nG%4cY  
"1}^~1.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB NlqP_<  
C9[L=+C  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qJx^  
o6VXx`{  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #_Q_:C  
XH]ET;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;lp5;}|  
%4h2I#1g9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) j<7r  
/@N sf  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B.Vb]'O  
EN>ccD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  . Uy"?P+k*  
|FRVDgbgu  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +7-;7vlM  
VUIc%yMT  
倍角公式 % Ob3pL@  
k(` t?{f  
　　Sin2A=2SinA•CosA =5MH1K  
0N"`SaE  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 te?5rM0  
,h3)#  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） kpc<1  
;q)IlBTJ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2Y6UXc@dhC  
E:L5iDOP  
三倍角公式 r=?<l5*(  
{-}!j2~  
　　 \6 z[;V  
$\[OZB  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (m2 )mAb  
!nUG'G  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) E)Vj,rT  
@5K'y W .  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) E #)-H/  
vP4|K  
三倍角公式推导 X<JzMU3)  
&[ DXcCR@  
　　sin3a rqg+a*r"  
!t$\e}38G  
　　=sin(2a+a) dWIECL9  
,=;}V-|  
　　=sin2acosa+cos2asina +M+/zj  
U!2m^-8[  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina CTz?a11Z  
Fi* %cdjM  
　　=3sina-4sin³a EE{-i-<j  
:m5)?)2=  
　　cos3a A2gtOD rx  
h{n1`'  
　　=cos(2a+a) |J Q<<}hp  
KpBBH= en  
　　=cos2acosa-sin2asina n7K?,_q~z  
sj.^xz?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa CC8uh~7H  
04O X|aN  
　　=4cos³a-3cosa '}|l4(\  
@ZFr31,|  
　　sin3a=3sina-4sin³a *32 [sr.  
3{ZVpz`x  
　　=4sina(3/4-sin²a) wdU^l}2;  
)rB^i|Q >  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Yx^FAlHHr  
k]7|ASyF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]pF9cUh  
-NA0ZGb{b  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) .ic\T!r*~  
X7oR=/73X  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {*I4NjS  
c *7x  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) &jq<Q<d  
,IJ*>Wg2@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa I@CwZrtF  
*AU,e=C=A  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1axa#_Gl  
`a\c?"Y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] yIU r %?H\  
dnC /uU'<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) cJs\XW  
2iNG@)U v  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) V{(z_g:@  
(W3D7CM.E  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;:3 2.yc  
ikCZ;M5m  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) R Px2&g'  
;E(*_h  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ni]JqeP8r  
:y"~.  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] qKC4s m  
FZI>vQ*&|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *'*CX{CT  
q&8ESH\.&  
　　上述两式相比可得 -^MK  
X/[=5*G  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) TRm+e  
}R({ Z^zNn  
半角公式 ZZdnyM"p%  
(T$qf)  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); psHFH`!  
#G )8K3  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. rV&V#!@5  
[)WW   
和差化积 {BD4OT "2  
G$=#q-d   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X- 4LNy  
'Y/aY=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `*c% ?=  
-;!MYs0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;-D##J'  
d/:ae.3H  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] lyrNc^-K\  
KV S0N SI  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z&f9F`=g3  
7{U#!o`B  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?:379C  
58@cm{  
积化和差 h/Hz*  
kLa!`gL8  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <2.";5%  
` dLrF  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] NGr U;A  
^s4uq<P  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U RTGW]  
OW"NYF n9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }/=<Oe*G  
eW%P~-AJ*  
诱导公式 - LH|S  
fNQA8,"(  
　　sin(-α) = -sinα aj7 %Wg0?N  
u|:BvmXg  
　　cos(-α) = cosα w/gZ0A  
on=v7dZQ  
　　sin(π/2-α) = cosα %etRt[S  
6B<S=mfpU  
　　cos(π/2-α) = sinα 1G95o{Q88  
8&\NCk$!  
　　sin(π/2+α) = cosα [f<"yn  
`a^{z*Co  
　　cos(π/2+α) = -sinα W3byp 7?o  
)GIkyKF  
　　sin(π-α) = sinα EAjWlgy(  
>2:)OxT  
　　cos(π-α) = -cosα 7.PJ5G  
p2SwJ-=-o  
　　sin(π+α) = -sinα tZEh`G(Df  
c{_!Uq  
　　cos(π+α) = -cosα dI5 LM\  
IaX  
　　tanA= sinA/cosA $Y> ""E  
7?^ i[`  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα P|Np:-/^L  
(zimt&-/  
　　tan（π/2－α）＝cotα N"Y*}S;  
p1"VQ6h  
　　tan（π－α）＝－tanα Pn]-;* 4/  
q%PNHn  
　　tan（π＋α）＝tanα 7fVUJ   
}Wz5%x  
万能公式 `S,BI""  
^GQWptU  
　　 /Isv7x  
R]CTfD/  
其它公式 tXf/|1s@oX  
M|*Bi  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >0L\7hK9B  
hyr04L#K*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 O7sb,PV  
] 5d/]k  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 QZnBiEZs  
a5 Ze<f  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 3QRH\}  
#k}DVN'?  
　　对于任意非直角三角形,总有 #l KpKX  
? nF NX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC M[[ _hfx8  
|q)^5F>8  
　　证: `ZW|ph!5  
CUe'@N!$  
　　A+B=π-C ()T~l7a$  
e5){dG;!|  
　　tan(A+B)=tan(π-C)  Lw~7 ie  
\.:iqv  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |?v(KxP^  
wvlUF  
　　整理可得 lq[Q#~F  
I8+Oj"wPd6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >Cc~#$_#P  
(~rK\ 6  
　　得证 BulHcR  
Nh%ylnF  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6U' yc=O  
dLUxD%G@  
其他非重点三角函数 #-2@>+  
P$bP7*X  
　　csc(a) = 1/sin(a) >iyi2k0`  
S}r5qYUl  
　　sec(a) = 1/cos(a) 21,HG3  
}2Jv;l  
　　 q|(t.;  
|BIw}9UB/  
双曲函数 \Zx }Gw*  
Q?Z[5Ckr0  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 h:oAt`%l4  
hg]N;@#U*  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 XN DXa9w(}  
fO)x#0  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) .e}y N  
`"aL9N02!u  
　　公式一： QIU9uOlyE  
?CEp< *{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $fK\y^ 1T  
B) PBwo4i  
　　sin（2kπ＋α）= sinα boxz  
FHt&lLP  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^EOuZY  
k 85~X\Q  
　　tan（kπ＋α）= tanα :XNh<}q6  
+nziyVi  
　　cot（kπ＋α）= cotα LZ\gT}AvdE  
6 %>@&c@  
　　公式二： 3=8bF5I\  
bAKr :g+6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]<5Ep{ke^  
Nf\>#f;97K  
　　sin（π＋α）= -sinα ;#FDH#0.;  
U^z_"m}   
　　cos（π＋α）= -cosα [4" E/rUq  
,!2~srs  
　　tan（π＋α）= tanα -uVw<#6&  
g3[7p6Dl?  
　　cot（π＋α）= cotα g@L- P%C  
oL9mT Z  
　　公式三： ZJk-S+}  
.c<t`nz  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t5?,elkrz  
Gq9L{  
　　sin（-α）= -sinα y+IV ^  
'a0z(Ktj   
　　cos（-α）= cosα YV=aA"I,\[  
Bc =O   
　　tan（-α）= -tanα Z6k7t^JO  
jB :w9  
　　cot（-α）= -cotα 3]JuW-B8/  
\7n#}a{Z  
　　公式四： xamHm[|/  
h -8K:K0  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： IZR%Bt  
]!t9%+B<  
　　sin（π-α）= sinα v]6OjUiX*  
/,,kX6@l  
　　cos（π-α）= -cosα 6f~v]uE  
tK3?2 E7G  
　　tan（π-α）= -tanα pLR>nHWB  
]Zk)UQsm  
　　cot（π-α）= -cotα 8yZd^!  
Jl\%*qKi(  
　　公式五： UU( 2w9  
C+dNB\Ej  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： EZxLL* M  
j# ry<  
　　sin（2π-α）= -sinα *PM(7iG]2  
W>_Mb 7p]  
　　cos（2π-α）= cosα v] tR  Kf  
IIy!pnpp  
　　tan（2π-α）= -tanα Zo/[8$'  
(*ga'X  
　　cot（2π-α）= -cotα zEMo!h)  
C'F{/ 6  
　　公式六： iwYl~WH  
1&5,K{dGp  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： <lYpv|j   
"sP O  
　　sin（π/2+α）= cosα 5@d+;#Fr  
)|ak%UL  
　　cos（π/2+α）= -sinα `?&?| o0t  
jWd `R}  
　　tan（π/2+α）= -cotα )V&0 qg  
L#i\ &  
　　cot（π/2+α）= -tanα ;Q2 d`}Q  
6#G6p -3v  
　　sin（π/2-α）= cosα I#29E.?o|P  
d^3jK2VN  
　　cos（π/2-α）= sinα L_G[3.]ii{  
Sc$;8LiE2  
　　tan（π/2-α）= cotα /]1POQ  
j> E`26  
　　cot（π/2-α）= tanα }v+P1j_Mj  
Bus4eSXbQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 9FS)WloyO  
d#[JfMvogQ  
　　cos（3π/2+α）= sinα 4B>M4Iz?u  
&Y")_|  
　　tan（3π/2+α）= -cotα qG%#xN1<-3  
1}PkK  
　　cot（3π/2+α）= -tanα OOr|fa jN  
$(ZkK/p$!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα [TXHcZ5  
L~*II*e&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *M~au!M8u  
y_ xL>0  
　　tan（3π/2-α）= cotα :"GZrtd  
yt wj3SZp  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]jn~=]D\  
.R8 5H;eQ  
　　(以上k∈Z) Gn{jBkfP  
bH]0I{j  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Cpc~(jNK  
%hE;,@S~I  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Dm~BNGHq  
?[)8^G=~N!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |yMI S' )  
BUB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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