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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 :c# <  
ZQ+}ad!qA  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [])keA^  
)g;y3 IE5  
　　1、三角函数本质： {|\=>K5jV  
8b@s2\lz3  
　　三角函数的本质来源于定义 4u$p;mM*Z  
a=F@Jv-  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 n99Yl.  
jPtv -U=  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 v%:W:12B+K  
w9| oBllt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `tFLuos  
B$E6x"c>Je  
　　推导： 0rz  
vh#J> %  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 326gI|[  
:`0 _Bzo!  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) I;{$sx$WG  
#"3DA=D(q  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) <8WQSia  
YXRLKH8~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 o82W.8  
T3<>]A;`6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \nE?2uyz  
z^Zg*FmtL~  
　　[1] JmUb[@?  
/(9s AP  
　　两角和公式 [,G\d  
uY3Cl9d~oy  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB tTBG<b)f-p  
rJej@ |  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ha/W@z"  
enXzBTPt>  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB il".7 E/  
?|T nv;Z!  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB F{'r r-h<  
&# y UJ+p  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~g,}Bp  
4`mO|-}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,UnwnA&)g  
pa:zGB;f  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  3[ =0!|97  
M4 V; l$w  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !?FP~z  
-).8&'\A?  
倍角公式 </7Yt"p   
?" H|V|  
　　Sin2A=2SinA•CosA & 7DvS/  
IR0Uo]fSX  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 {^$tE~Ti.  
=H[&'=g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） $,Ddxp"u  
f.fY|qLF  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 3,=@~K  
^3Waz  
三倍角公式 5#LE V '  
9aMR6`7fD  
　　 8OtNE  
5XJo1]+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~t/z)|D  
N\ (c  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3 tn/0O  
u2"a.Rj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ['[5L[7  
* ?xF "D  
三倍角公式推导 ]1Aq5@a'  
p[Ll$ S}  
　　sin3a &D5/-"$0  
+XBU?')\v  
　　=sin(2a+a) (#Q.&tn  
ep_+{bw+D  
　　=sin2acosa+cos2asina z6f ,8  
lSJC \~ib.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1vHUV'  
$[)EYX`  
　　=3sina-4sin³a lc""{ N"  
55zqT=u  
　　cos3a shAcsBr  
:d#:4 Jcr  
　　=cos(2a+a) wgY;.6: o6  
{Vxi 5(Y  
　　=cos2acosa-sin2asina /B<]F W"C  
wr'mNU`x4  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  Ve )Q\ K  
6Y^c)28{  
　　=4cos³a-3cosa e0wo hda  
uE. +(' KC  
　　sin3a=3sina-4sin³a \O#W!2+At  
XyZ#lOY{8u  
　　=4sina(3/4-sin²a) ]g.4Mu?!3  
2L3',O  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] g5Sm/#W  
;A!sq.O}  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {ya_!2s3j  
NA |Tzj3V  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) GOa5 ^  
~KS;?^m8]  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^"|0-}+1.a  
Pnx ($/  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) hQ2rpGt  
Wr6,:_9>|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa lW]c47  
1gj&g>z\F  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }K4Cn  
K(S!Vd6TJ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] "7C0@}  
Y$(aN?fTV  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) zFhv) +=f,  
N k{f&P  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) WuWv: #  
*Z-5|yF4  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} y=A(RR"6  
\: *S8o  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ][cn6g>'  
hCS|{mM  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] p.}nw3\J  
J~."/h{7  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0(kem  
bj5iu>!a  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $6C V .  
- 8?kQC g  
　　上述两式相比可得 mROp BMUpQ  
]TZj(|0  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) EVV6H\:  
v]Y Q  
半角公式 3]IR~crN  
_lCVD,z  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); s3D3RP&B  
Y(QJfG['  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. P!p~ $n0  
1="'lQ 'l  
和差化积 hXn`5[  
[Vs&^ir [  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i^y&oiP6F  
u&lEK_D=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4+"&QIYb  
%SFS8kcgiJ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 78dcRIq  
}JQ.Zde  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Vad Lw  
oTP-;QR&  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  fO 4G  
'WkT9 l  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) |Ik<l%X  
E|ucf]$J  
积化和差 GKG3 iaY  
Dz69J8S4  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 2{76pH*Iq  
jnUU7] o  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] c$M(9  
z)wGkky8(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Rj2!o3 qp  
mS~T}o'BJ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] q}tm( `I@  
"-C xe  
诱导公式 nxQJIk h  
) $weRGf  
　　sin(-α) = -sinα #ZL{*w~  
' 6mmPv\M  
　　cos(-α) = cosα P8U;Cn0  
>O^8arW  
　　sin(π/2-α) = cosα k5Mw/C_>%!  
MjZ0ZL1  
　　cos(π/2-α) = sinα !F:!gAt%C  
0V \Y:h}  
　　sin(π/2+α) = cosα 6_Im}iK  
iBh5`v eq  
　　cos(π/2+α) = -sinα rGdd'piIX  
jnNKpg K  
　　sin(π-α) = sinα KdM+)Y[e  
@iQaz;}}  
　　cos(π-α) = -cosα F z`s{i  
tqPfs~8  
　　sin(π+α) = -sinα UW7K^IgON  
dTIB @]  
　　cos(π+α) = -cosα FzBC7}PG  
tGwrd ,e  
　　tanA= sinA/cosA T&`gL/  
}?8[P^65?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Kl &-CqeF  
}b/Yu>qC  
　　tan（π/2－α）＝cotα qODQD%#  
'm~Pu  
　　tan（π－α）＝－tanα !nL;W li&W  
"&]XZ  
　　tan（π＋α）＝tanα .Mnve gQ  
^%0vU3$  
万能公式 h4#We.8v  
rrOV=  
　　 Y!t/1SY  
}"ez?B&&)  
其它公式 E8g[1CB A  
iyhS}-R.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 8>c{zK;}s7  
uCO=q:]}-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1Q&M ,;  
{z-<Fg?,6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @LZ}Vco  
d E a`0Z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 F stz+d}T  
w&} %vp  
　　对于任意非直角三角形,总有 <pNAfw2s  
uX` = kC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC E6T,8# l#  
;@}.\!x  
　　证: +^8_RyY6  
n$-B 7 \<  
　　A+B=π-C Rs>Ni_L(a  
x6t+<iHI  
　　tan(A+B)=tan(π-C) p8KVH^W  
LJj:#Cv$#  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }\uq}j^M  
>]38-Yw1  
　　整理可得 iA,A5$$K  
$SmiJ,jS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC d92&3$  
T6G:~Nv%  
　　得证 r{uDDS  
XhR# H  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 z9Li%X%LH4  
[d{V  
其他非重点三角函数 %tAW   
yLH2YRIZ  
　　csc(a) = 1/sin(a) oKNf(,)@  
LpddGd  
　　sec(a) = 1/cos(a) 9<{jj4RF  
Yzn*Jk-  
　　 k|S' T"2  
6sPunjd  
双曲函数 6' ?_B{[M  
aSz;h-gMTd  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 JI"po@(  
z4Q'5+  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 A\M8e5asi  
[NFVxQbeV  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) AE{@ ?`  
AMvTyO``l  
　　公式一： GR{:4y^+V  
y]% )v_  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： x(<Dg;:G  
p%Sn_Vj+{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα m_BsBI[sj:  
CT(%P0LOs  
　　cos（2kπ＋α）= cosα .U>;h-L]:  
tf~]d- O  
　　tan（kπ＋α）= tanα c Wd = |q  
]&0"M gE]  
　　cot（kπ＋α）= cotα ZaoQ5D)_  
'mcIX  
　　公式二： z?@;]C In  
#_ \06Uv09  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 3Ki1$r#]  
mEo D{8au  
　　sin（π＋α）= -sinα r?X2^ TdJ  
C"9zaIAh  
　　cos（π＋α）= -cosα eS#2 Ctz3  
_}fp RH$w  
　　tan（π＋α）= tanα [pe6 q  
}/fOng5K  
　　cot（π＋α）= cotα @ N&u&PyV  
:YpV43jx  
　　公式三： VmGRKF;  
HgiKca=3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ]mD Z97  
}#!N EA  
　　sin（-α）= -sinα rlZ'>ZM7"  
E2O&gV^_  
　　cos（-α）= cosα $K?rGWj  
_Pq`HL  
　　tan（-α）= -tanα <X"ZU&rG  
0n'U?S4  
　　cot（-α）= -cotα D F$7JQg  
s[Jp^B@q  
　　公式四： kCn< F  
h(i8px}_  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： cWYgJ2.\B_  
Y)o}Rg|  
　　sin（π-α）= sinα jT ZOS.-G  
,6(i7 wa  
　　cos（π-α）= -cosα r8T^S%%QFL  
 WQ_.R  
　　tan（π-α）= -tanα {ycY{f8nw  
QCyv.S  
　　cot（π-α）= -cotα aAu9b/  
oq* 9>,3  
　　公式五： K rG1u  
OYz H8d|  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {}1NGvr  
X(P}((NVX  
　　sin（2π-α）= -sinα BRpXl0  
a65QT>,  
　　cos（2π-α）= cosα ` Q=l OF]  
 [18 u!  
　　tan（2π-α）= -tanα s5 fPh$  
f Q;D/e  
　　cot（2π-α）= -cotα o~*Q5 25  
Zge#{b/*:  
　　公式六： ?}v]<]l}^  
O{b]B(M  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -A+A ml  
ba-\`pdR#  
　　sin（π/2+α）= cosα @*_?HKPmu1  
(aea9N5T  
　　cos（π/2+α）= -sinα O@UcXG<]  
\D3xb_|UF  
　　tan（π/2+α）= -cotα qco\We  
l@<_;037  
　　cot（π/2+α）= -tanα XZ#VJ*_  
'KnbM#8ka  
　　sin（π/2-α）= cosα ?Jpc>1'  
7) u1 P4t  
　　cos（π/2-α）= sinα o_lG=Wk<H  
PjZh?F=KUp  
　　tan（π/2-α）= cotα ZEyO-D3e^  
oP >pX l  
　　cot（π/2-α）= tanα b,e0E3 V  
)^bl  
　　sin（3π/2+α）= -cosα bT .~   
/{]>\k  
　　cos（3π/2+α）= sinα @@&~R%hL`  
P"U hG A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα <5s-5"2v  
T>V;_G  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mK0}!9F$u  
nWqf 0 L  
　　sin（3π/2-α）= -cosα dRt2CAb  
~okOA9-2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 1NsyLyQ_  
'u"XDnP  
　　tan（3π/2-α）= cotα Xwt/}?d6`  
VYD&K%%%S  
　　cot（3π/2-α）= tanα ~NxzY^/  
kZFAk;4C  
　　(以上k∈Z) 29)p!w  
Wjh{?q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,ih$^U[>  
ySX vW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G+ad4._8  
m.(6# [  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } &gaew:!k  
FBZq z`{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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