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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Y6C"xo= 2  
Z8p4OfP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. P`<:#b,%jo  
phG5<V~%  
　　1、三角函数本质： JJEU <UI  
Q=LEMw  
　　三角函数的本质来源于定义 6DEy'FV_y_  
LlT/W> Py  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9\YYhfW  
/= /)Qx _  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 6|Hv_q J*  
*33> nM"?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： / -89j{A  
{;B.#kx%  
　　推导： ^g,?? ~{7  
>fcvys3WF  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 )(!53WbH  
} Asd\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) DZyikcA"  
:Lu"z%nTz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) TmOi|$g  
W/67cr  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -gA7"V   
!mT% >S KP  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 10l m$k  
fe&m"R-  
　　[1] i{h>rqDro  
dKSS-Mrh|d  
　　两角和公式 0p~gC_i  
}!B}c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB nw;)D  
q*kGL I G  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `*x1PvI-  
`HgtgG]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B.Gdn#XvW  
uFw-*1ym  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \,sR,Qi[%  
fSZw$t  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !RtKe;'e{F  
!jV@$  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) W!rSy'^Y  
d{J}'#,F  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  zm%$},UV  
S&1Imx@^X  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) xf<Xxh7%X]  
Hd$ y`M  
倍角公式 TxF&sF4  
lOrAZ$jF  
　　Sin2A=2SinA•CosA k6) F&Dv  
ugkJI`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 m`5KQ XK  
""e]o{3:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） TYVo &lE  
s}i*i<=1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]1.bs1,Y  
1<O/rr  
三倍角公式 He-| Ka  
57|<m ra:  
　　 4FE Qig*6g  
8B](iGMRiM  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Pc#Ozl  
eWW9I+t  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) mK3qhZa fW  
r6=EH'hU  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) q?3B{sy*  
<U mxi  
三倍角公式推导 3"#E'w  
UAgqQ}f  
　　sin3a b2f>BL4  
t/yhq]-  
　　=sin(2a+a) HW8Wu#(*c  
_!TbP@U$o  
　　=sin2acosa+cos2asina y2 ?m ]  
Onyr%rx<  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina sG'WOeE>  
En*,h-r l  
　　=3sina-4sin³a 7DKh*  
8\` wFxJc  
　　cos3a nr| L+  
JuF#d@hFL  
　　=cos(2a+a) 7>C!P&~2|  
wfcP]gk  
　　=cos2acosa-sin2asina ,lJEH< ,P  
(3Jw6"yq;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 5(zgMsvv  
?f=?In+i\  
　　=4cos³a-3cosa a-gl.2F<  
\ H&vF`I  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2  |4X  
J$/TWrL,  
　　=4sina(3/4-sin²a) I8APGb ?  
y2HV( 7E  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] B8n,}7\z{  
%:7d/Ry[;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~Cf(!hE  
#4j8bR O  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Rm\44  
\,=va4O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  #g4  
#H?,Xr4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )Ce?v57y  
sX=T)%f5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa w5tD  
wkGgC/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) f+#_//Y I  
<O2 zA$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] mhCG^xgf  
L{&W4H?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 1} 32\ I  
.x%/V8 j  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Y"y_cj  
b[K;<IG:d  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} l"eN B%4S  
+[~4O@S  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) h_1&P8y95  
G8Qf!oF;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g@hB  
i3|R}[~O)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] IB6 |MmW,  
$O&C 3.9%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) { 8*[l[%C  
=FRM~^(3  
　　上述两式相比可得 _[3&_|Z^C  
G]>8}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -Z5^VG'+  
|dDy@Mj  
半角公式 ~;Vlk#y2c  
KjDW[c`  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); C1:3\  
Sf i|XS>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.  z.T'nn{  
[TE0r0O  
和差化积 ~ 59{  
x {C^"F:  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ro.4,$ )  
%V<(3#F@  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qy2d~i*[Z  
nK:NmmO7ah  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '8aG^   
92T{@zCm  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Vv#F8,P3  
Hr{jG3v<  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) d%i:!r  
93b%vQE  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Eyw0y `  
iggkL`od  
积化和差 |OCid3A2  
8lE*!V4)V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] $]i8mOG  
~~DH(j<  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y~iT,  
Ji[*B{(xz  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U1<>7u^9  
@..WPVTe[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 33<` g}1N  
hc C8]D  
诱导公式 Mn:V7Xq<  
E_oz +Kk  
　　sin(-α) = -sinα /D3jtSHHf  
j;Zm Dc  
　　cos(-α) = cosα ;]/%tu<F  
DJJMaQk]W  
　　sin(π/2-α) = cosα f|:w43 &g  
Mg8`|:7X  
　　cos(π/2-α) = sinα \{g d  
GB 4:m  
　　sin(π/2+α) = cosα j8[ z8 |  
s]~| Et*w  
　　cos(π/2+α) = -sinα *7XQE\?0B  
%I:M{LG?(G  
　　sin(π-α) = sinα $GnCc%|:  
2ju^1`<p  
　　cos(π-α) = -cosα a<q/%M nw  
d9ryq=1  
　　sin(π+α) = -sinα ecb*K8w  
b{yj)J=  
　　cos(π+α) = -cosα 1zyv3=ey)  
!uke[a8+l  
　　tanA= sinA/cosA >6ET+vh  
ei)0nDW  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~ &!Z=S  
e;cz0s  
　　tan（π/2－α）＝cotα ?zH~ yM  
\M+cBboF:  
　　tan（π－α）＝－tanα s&#e&L{  
]"ZvN#  
　　tan（π＋α）＝tanα Zkn\T v  
%`UO KZ}  
万能公式 z\B?$6aE8  
?ZWVq}Fb  
　　 OILS?8KN#  
`?4uD(,  
其它公式 5e:n-L7?u  
>pH~r|;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5L9 mo/I  
$H\#I+Ip%  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 CUrlqnp` w  
~ctY9^-o  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LLduA?D  
e!.6$KUm  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Q4jHG5`9x  
:8J& k']8V  
　　对于任意非直角三角形,总有 =.bW a3f  
o3 $9SjO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC f^T} %k  
bd4UWm `  
　　证: 1. $ j  
Y!AJ%OH   
　　A+B=π-C q~V1b)G<Y  
#Vh>-Vs^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) I>b*lE(R"  
ubWd5R~}  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) cl-}R3Cy  
? i`"&D  
　　整理可得 =:Dw%zb  
(]5o5Cu"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;Eu]B{W?Q  
qX0r+o<  
　　得证 *qpy%:)3  
mWc|yF^HQ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;p9'Kv  
0N2<G%!  
其他非重点三角函数 #U&UL4  
`ZSj.tKj  
　　csc(a) = 1/sin(a) sq|<!g3  
5lw(F[z32G  
　　sec(a) = 1/cos(a) w7 ]O!fUJ  
V_NZ* FyA  
　　 {z__\B~z7a  
.)8$F4;rk  
双曲函数 #mf#9c+  
F..v7JDsR  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 PAWK9x07  
(<L"oHy5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @1Ww<3u$|r  
'_ZfVDj;`9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) km@jUD_-  
`@b -:fmW  
　　公式一： ;9^ JG$5  
uZ\DdKf:Bd  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +HHe) BP3  
%3+RLy%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  b`pS  
~,S2^2I  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 2V1Hi1vSd  
q+#%uZZZ  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8;iKgyW:M  
"#cL;#^-  
　　cot（kπ＋α）= cotα 2+;9T  
ih&'LY(\C9  
　　公式二： 1$X M?  
Xlh8\xb  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  Sl1Ws  
#z_7tWt=L  
　　sin（π＋α）= -sinα bj e txz'  
;VGt,T0\  
　　cos（π＋α）= -cosα ehU*%6Rd  
Op0SM:IA  
　　tan（π＋α）= tanα 0|-aH'*  
O%hU1E'  
　　cot（π＋α）= cotα ;I`^um[]y  
hl_Rq#UDce  
　　公式三： m<tvpYF:[  
 `N?0 $  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ~I]w_\2"  
<^MCO$!&  
　　sin（-α）= -sinα .6`9(6yQm  
1XV-^Oz^  
　　cos（-α）= cosα &%bIw\+%  
HZvBT4j  
　　tan（-α）= -tanα pp\eM]  
2 pO) "%  
　　cot（-α）= -cotα >mLFrI^D8  
<D/8#vj  
　　公式四： 2+"oc-W%  
yE"@c$ 8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7Q3Efs-i  
W/{>"ii  
　　sin（π-α）= sinα Cym?+S8z?=  
='.e 31  
　　cos（π-α）= -cosα `eGsW(ud#X  
ld-&1ISE#  
　　tan（π-α）= -tanα Itq"j<U  
ym1J`]M  
　　cot（π-α）= -cotα [xUS.c-  
$bzp!nwaf  
　　公式五： O4`J o!\  
P'Xws';t&Z  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： N&\ O\  
z P6dg)8{  
　　sin（2π-α）= -sinα i2p{?*#?-8  
"4NJpq  
　　cos（2π-α）= cosα X"A/dgPQ  
|_\l3c4?k  
　　tan（2π-α）= -tanα sek 9 Sy  
]n TI2Y5  
　　cot（2π-α）= -cotα [yF+a  
w`U+vH  
　　公式六： vOp<4e  
L 5\h?OI  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &@#hzo*J  
7DGH.p<F}  
　　sin（π/2+α）= cosα ]q*dPfd  
F(> &gA  
　　cos（π/2+α）= -sinα }R$2'dc6  
[HZhP=rYq  
　　tan（π/2+α）= -cotα YM5&;F:  
hrO#RU  
　　cot（π/2+α）= -tanα %<tbRf  
cu&8?.c%  
　　sin（π/2-α）= cosα S +tjZNf  
q2O 10F-  
　　cos（π/2-α）= sinα ;B\bmXT w0  
sJ8ev}<&I  
　　tan（π/2-α）= cotα  <G C7w>  
DUm2rl[  
　　cot（π/2-α）= tanα \2J m  
[#vH9\:5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8Mii]&b  
yZ@[*! .M  
　　cos（3π/2+α）= sinα nRq(hFL5f  
;*Bd>Pa  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &OuV`lc  
x {%,  
　　cot（3π/2+α）= -tanα zWx]fO%+B  
`:.zPB-e  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Atmz@^b[  
a)X9kOsB  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N,F\%  
o#~ea3=<  
　　tan（3π/2-α）= cotα n@[fG?  
 U$0&AE  
　　cot（3π/2-α）= tanα =t]jZ'C  
2#j YPX  
　　(以上k∈Z) !z:Y&.b0  
<XV[O).@  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 H %ed;n  
$OR}P{hx  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Q5Gk^O'&  
\Zd*H  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }  JC b  
&@UkaWpw V  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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