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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 k tEnMEw^  
TZF W NGq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  2)k;pX  
L9{Ea8@|  
　　1、三角函数本质： G91a<K  
/w%M/1  
　　三角函数的本质来源于定义 (q3\~w`fW  
*UF! y:$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 eAD] 2ac  
p@i]'a"iL  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 tk/AKr$  
ooYv6-I E  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： b/i <#}u  
(qq^  
　　推导： j@g_AfN  
g~9Pu 7  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 W5WyM(]^F  
8\`L.R>  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) G\ y o  
Q}#z,2o<  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Tn1t6}1  
F1RDai@5  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )mYNM3|  
R L& 1 2  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） r<,(e3Ch  
+D6Y)%27Ha  
　　[1] S# TC6A?#  
KIXM,Pq~!  
　　两角和公式 9qQ%TpaOO  
PU!h ;t  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB L cLB_w1  
sa:eEx@  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  CP{av tX  
,zocli #g:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB l}N9kZ: o  
uQ#.[%e  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB LY32TN _  
SS"~l,I2hc  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ON9< ]  
v1KW yv  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) uvG$MG3  
gf-:CTs  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  rv:YF[<=  
7 dH-9r}"  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \&<1,B  
k$}D?T *y  
倍角公式 YGe$g ?y  
phE;/611  
　　Sin2A=2SinA•CosA e<"=' {D  
daUCl j  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,.{Zu{W  
,G7kC5  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  0])]=m,G  
b(JG! Xx-v  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &g:B(b4  
LC>wPv4 /  
三倍角公式 |,qS8Z[1  
mrSS  X  
　　 slPY3>$z  
2+V|T6t;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) aE!U-/K3\  
_UV<`jr>L  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) sscfbN)"  
_)Ukk !  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [;Jv2,[h  
A[D}L"r  
三倍角公式推导 VRSG\O ]A  
>Z!P(\p6  
　　sin3a 'd&f !G~  
.Il7rC]t  
　　=sin(2a+a) L`Pe%S  
F&'t~>uk  
　　=sin2acosa+cos2asina Rk19=WX5R  
o)1Z (A  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ~PGdW  
 9SCT"2  
　　=3sina-4sin³a p^^JJ3 TR  
k<vTH0$zk  
　　cos3a RQmVRdM?8  
/z#CVA*g  
　　=cos(2a+a) jEbxqhZs)  
zyTbhEU e  
　　=cos2acosa-sin2asina "c-.H4)  
b]b Sm  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ?l {T]j@  
?,X7pD% z  
　　=4cos³a-3cosa QK|$|Qdl2  
UDG%f6P  
　　sin3a=3sina-4sin³a .IgXKD^7  
=*%DIV.f({  
　　=4sina(3/4-sin²a) nx$vNo  
;QN:Q!T  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j6 ?t?9O  
JH# Yo3ebe  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 6bpeV  
,hIn/`+D  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6Hx5y e  
-x:8qw  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] YU'2uK;%  
/Sw=C/$k  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) sY_!G<b2A5  
W= _o >noM  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6O$,Q 6pO  
+^wa(IuE5c  
　　=4cosa(cos²a-3/4) C^b dAV f  
Kvu"\_<i  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 0':BCp>U  
#oD8$k)^  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) #isz_7l  
Bf!&3O#!k  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Xt`!~Z&Aw  
,K*4  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 6)GZ#3s7  
s. 2I"H>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) >epyE4  
aL(-u9yL^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] */m} "O+  
wo|x[ 8i  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q1M-@ IZY  
3:R/iU!  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) FtaN`u;  
395G/})H  
　　上述两式相比可得 =@,[z0%  
BT,*0 vjN  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4mxwc I>  
UNV0 :#  
半角公式 ?Gu0n'|  
~1 rlj!?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @oJ TH Ua  
<bO3#@  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =?E'_KN  
TXVeS  
和差化积 lD/ V?nE  
+@Dw^\ma'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @U7]I8  
`s(-HYSe  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QJ4pi}  
Fn7NHKW[#  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] XO.brh_.vO  
r2ER%J)  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ?4Cu0iA4  
>h!~&3s  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 3o31mt  
b ?R.$jp  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 4rCy&>%  
3w.SkVim_V  
积化和差 Djv Z<-.5  
j^fSpP>  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /8B$]v[_  
)z:o%?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B>.b#s+9  
c8#]m#5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Iy VTb J  
PdwyFgmO(  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *k!\_ b  
];6}dP;  
诱导公式 7;3 <M  
u$2`K6GO?  
　　sin(-α) = -sinα _DOZ^<)2""  
P0Cid+t]  
　　cos(-α) = cosα gxgo]1yB{  
[3yo7wqt  
　　sin(π/2-α) = cosα [ZC+l`G  
c{L 7 y/  
　　cos(π/2-α) = sinα ;N}xJtag  
.np(${O}  
　　sin(π/2+α) = cosα T5dAOAjR&l  
]C* .Z'  
　　cos(π/2+α) = -sinα u<b " aMx  
o)Fm^K%}\L  
　　sin(π-α) = sinα caZh$RL9p  
x"v|o5ru  
　　cos(π-α) = -cosα @d5\*6Q]  
! eCq%sK  
　　sin(π+α) = -sinα 9+'(@^T  
Jej(X)  
　　cos(π+α) = -cosα r^ 0;Y>b+  
8 a-W; _#j  
　　tanA= sinA/cosA iRF$)#r53  
! TSrali  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }l1)  
iz Ew|=>  
　　tan（π/2－α）＝cotα \,a&?($p+  
FZ ~G9&"E  
　　tan（π－α）＝－tanα SgN !b  
`N @kyGI  
　　tan（π＋α）＝tanα yiTSsavc  
+ SKmG@  
万能公式 {F`L|E@%  
Ps[ {/u7  
　　 3A/C]FA  
kR))OT" v  
其它公式 =fwN'u/`1  
@ NHE]T  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Hu 3.  
y!_ll)u0:  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5q}K}a1YU  
@m4yKG[~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 p}OLR/SF  
v`=0C]!  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 217.L<0'  
NHe1)k-  
　　对于任意非直角三角形,总有 uj,mVE}r  
!=)$ {X?  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xZ:Djs  
->NFV $`4V  
　　证: dNn}t[I'  
$JphUFo*J  
　　A+B=π-C :tf 0ST^  
wR&|0|~  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ,N&F33 :  
%M%nh>tR  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) #iz'N%X   
KO' $ZN  
　　整理可得 bn  F,  
3U>g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC V*M!Nk2  
d0$"(#[  
　　得证 'pM{#Q"I  
D M ^p>%5  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 79w\!d8   
nTdeD yH  
其他非重点三角函数 ^,aDVi\  
a=k~s  
　　csc(a) = 1/sin(a) C"]u  
c)-C3g]c  
　　sec(a) = 1/cos(a) }3GqQ8\o  
Dx]81  
　　 t ],tei  
nL>9Y;aR(  
双曲函数 M*gzy].#  
e+2Q+9  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 w0?KID w  
lwVou Qz  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 "Q-578  
,AwX  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) % ;.3wOh  
BF eaNA;  
　　公式一： % a!V{j  
K}5B7)vWn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： X?>Kh{J?  
,v;{1LW=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα l%[Ku  
ZKQ9B z  
　　cos（2kπ＋α）= cosα NtV'eO,S$  
RF6-@;  
　　tan（kπ＋α）= tanα }:2=k>_  
k~V1Om'  
　　cot（kπ＋α）= cotα B/Ep/lD 4F  
3 FgY)  
　　公式二： _8 vL  
ohIczhe <  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ,_HUrm  
}RK(`g7*  
　　sin（π＋α）= -sinα y4kV:Ru0  
#,hK#<j6U  
　　cos（π＋α）= -cosα  fj4iI  
*eFL4`9  
　　tan（π＋α）= tanα +~D$sliLy  
keR%ODX  
　　cot（π＋α）= cotα xY`g5nwU?  
kyUoZ70q  
　　公式三： J*"!R3nk1"  
C|-CX7e4  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ,p. %3b  
Q)^UD5 P  
　　sin（-α）= -sinα *1j13&  
xWVb'6ea  
　　cos（-α）= cosα tnbx,|/RZQ  
RS/D99D  
　　tan（-α）= -tanα d%[UL?JjQ  
jvd 2_9X_  
　　cot（-α）= -cotα +:eRNy(F[l  
j.<?iN@  
　　公式四： ;fIt=5V{  
dTl6J  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： dOy;9p,  
UcV {j  
　　sin（π-α）= sinα f&JpW  
f\peXxt_  
　　cos（π-α）= -cosα '{C5G]Yz  
aUb'`-  
　　tan（π-α）= -tanα lF/T:)Q  
b^9v1e_  
　　cot（π-α）= -cotα 8Opu> []  
sEP3 C%"  
　　公式五： 5`^QRtu4  
z!|OHt,f  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  8=&iyyw'  
=#oeOSv  
　　sin（2π-α）= -sinα 4 <_\7u  
6*@7/F+`  
　　cos（2π-α）= cosα VZn)(A  
Xsc:*crl  
　　tan（2π-α）= -tanα ;vlHkm\m  
H;=^G@/i  
　　cot（2π-α）= -cotα N *lb0dF/q  
0AF[P>hD  
　　公式六： z]P,P/  
Gg2~ m|  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 'i@dx4;u?  
p;q%{w  
　　sin（π/2+α）= cosα nl};K6K  
oKm pEGk  
　　cos（π/2+α）= -sinα 8JV?vN#_  
|R,P #g+@  
　　tan（π/2+α）= -cotα \rf-z/ZP  
_&eq2*tk  
　　cot（π/2+α）= -tanα shQV1( Gr  
p*XIx3fwN  
　　sin（π/2-α）= cosα TZ'|\:z  
+[G:U,i:D  
　　cos（π/2-α）= sinα r6'Zj?I%3  
CO-6KM]7;  
　　tan（π/2-α）= cotα .n+z,3Kf  
 x|}%TVz9  
　　cot（π/2-α）= tanα 4q4N ^O  
f97~M;oI  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1 ]\:h4s?  
=`5`#k  
　　cos（3π/2+α）= sinα B|d`W [  
SQ{N)P*_3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 1DJ/}s8|  
F/3z)_,f  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5i#CP 2X  
5T#LViT  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ):"VM% _  
Bb@ 388Z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα -KA%--  
 Mi!c6r  
　　tan（3π/2-α）= cotα z=M51H  
C\ThMrAml  
　　cot（3π/2-α）= tanα H_ [ a  
dqVk{w-I<D  
　　(以上k∈Z) ;hOq 3'^  
9M YJL&{  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 GczCV7z2  
d|7PY.S1  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qIC_#XJ1  
`A]k<\CZK  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =ERHU|%  
DeyBZ.;q%}  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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